对于0.99循环等不等于1，这个有比较易懂的讲解视频吗？

qqks

阿菠萝13 发表于 2024-10-28 11:40
瞎说什么呢，九位制下不就是0.8888……=1的问题吗

对呀九进制不用9这个符号于是只能进一位呗

Sloudy

0.99...不是一个良定义的实数。如果非要按无限循环小数那个方法定义实数，（印象里华东师范的数分就这么定义的，而且书上的定义还缺斤少两），而且把0.99...这种情况考虑在内，那0.99...就是1（注意“是”和“等于”的区别）。
引入这种定义会导致很多证明变得困难，随便一个实数都同时对应了两种循环小数表示，比如2.00...和1.99...，于是定义实数加减法都十分困难，属于是自己找不自在了。

qqks

你那个0.888是从哪里搞来的？0.99999无穷循环=1是是由所谓的分数3×（1/3）=1这个代数式映射出来的，它在十进制里就不能在有限位准确表达，因为代数式本身并没有要求它只能映射到十进位去。


凭空多出一个，0.888888无穷循环在九进制下＝1这不是多次一举吗，你先想想这个0.8888小数的实际意义再说，它的代数表达式是啥？


8/10本身就可以在10进制中被有限位精确表达，你还需要再把它扔到其它进制里去凑一个0.888的代数表达式？

Bryce.T

qqks 发表于 2024-10-28 11:26
这里跟实数毛关系都没有，就是进位制除不尽导致的

很明显这个悖论最初就是由3×(1/3)=1等价于0.33333的无 ...

用竖式除法算1除以3是可以得到0.3循环，但这无法说明除出来的这个0.3循环等于三分之一。类比有限除法的情况，40除以8等于5的原因是可以验证5乘以8等于40，但在无限的除法下没有类似的验证

qqks

Bryce.T 发表于 2024-10-28 11:52
用竖式除法算1除以3是可以得到0.3循环，但这无法说明除出来的这个0.3循环等于三分之一。类比有限除法的情 ...

这就是纯粹的进制不匹配导致除不尽，只能用数列无限逼近的例子

所谓的有理数的无限循环小数，为啥叫有理，你发现它有限位不能表达换个进制就可以了，这没啥奇怪的。不要想太多

Bryce.T

qqks 发表于 2024-10-28 11:55
这就是纯粹的进制不匹配导致除不尽，只能用数列无限逼近的例子

所谓的有理数的无限循环小数，为啥叫有理 ...

这就是实数的定义了，实数不会区分一个数和一个逼近它的数列，按定义它们是相等的

qqks

Bryce.T 发表于 2024-10-28 12:00
这就是实数的定义了，实数不会区分一个数和一个逼近它的数列，按定义它们是相等的 ...

定义实数连续统要考虑的无理数，你看lz这个0.999无限循环＝1用到无理数了吗？

它就是个进制导致除不尽的问题

Bryce.T

qqks 发表于 2024-10-28 12:04
定义实数连续统要考虑的无理数，你看lz这个0.999无限循环＝1用到无理数了吗？

它就是个进制导致除不尽的 ...

不需要用到无理数啊，有理数+不区分一个数和逼近它的数列 就能得到实数了

qqks

Bryce.T 发表于 2024-10-28 12:11
不需要用到无理数啊，有理数+不区分一个数和逼近它的数列 就能得到实数了 ...

实数连续统下的无理数是远远多于有理数的。

你用一段尺子表示0到1这段的全部实数，你随便指它某一个点它100%是无理数


因为有理数在实数区间的测度为0

人类的数学符号系统就是这么弱鸡


所谓指定任意一个数在实数里太深奥了

199april

【【无痛高数】揭秘极限！为什么两次数学危机都和无穷有关？】 https://www.bilibili.com/video/B ... f0c275e07bd9ba3a6f1

我觉得这个说的比较基本，最重要的是厘清无穷和极限的概念，不能用有理数的概念去理解

qqks

199april 发表于 2024-10-28 12:18
【【无痛高数】揭秘极限！为什么两次数学危机都和无穷有关？】 https://www.bilibili.com/video/BV1wc411w7 ...

lz这个就是个纯粹的有理数问题


可以(1/3)×3=1表达它太有理了

马猴肥宅

还可以给小孩看这个视频作为进阶

Wiksy

qqks 发表于 2024-10-28 11:45
你那个0.888是从哪里搞来的？0.99999无穷循环=1是是由所谓的分数3×（1/3）=1这个代数式映射出来的，它在十 ...

这就是9进制下的小数啊
a_n = 8 / 10^n (这里是9进制的10)
0.888… = a_1+a_2+….

qqks

Wiksy 发表于 2024-10-28 12:41
这就是9进制下的小数啊
a_n = 8 / 10^n (这里是9进制的10)
0.888… = a_1+a_2+….

你看lz的标题，0.9999无限循环等不等于1


这个问题的核心就是（1/3）×3=1为啥等价于在十进制下0.3333无限循环x3=0.999999无限循环


为啥？很明白就是除不尽呗。


你换成九进制就能除尽了，九进制下1/3=0.3，0.3*3因为九进制逢9进一位于是等于1，这不就很明白了


至于九进制下0.8888无穷循环得问题，你要把它转化成初等代数式它才有意义，你都用上sigma了这还算初等代数吗，对于楼主的疑问，这是没有意义的多此一举

阿菠萝13

qqks 发表于 2024-10-28 12:50
你看lz的标题，0.9999无限循环等不等于1

10进制下，1除以9，除不尽，得到0.1111……再乘9，得到0.9999……
9进制下，1除以8，除不尽，得到0.1111……再乘8，得到0.8888……
不是一回事吗怎么就“九进制就能除尽”了呢？

qqks

阿菠萝13 发表于 2024-10-28 13:25
10进制下，1除以9，除不尽，得到0.1111……再乘9，得到0.9999……
9进制下，1除以8，除不尽，得到0.1111… ...

但是跟楼主的疑问没关系啊

九进制也不是一切代数式都能除尽呀，讨厌无限循环的话哪个能除尽就用哪个呗

ΣPRC

数学最重要的是定义，定义首先要保证一致性

纠结0.9循环的前提资格是知道“什么是0.9循环”乃至“什么是小数”

—— 来自 鹅球 v3.0.85-alpha

notch

评价是初高中数学课不教实数构造导致的.

ΣPRC

fat 发表于 2024-10-28 08:25
完了我也迷糊了，
那1 - 0.9999…的差值是无穷小还是0？
直观感觉是无穷小，是同一个数的话就是0。

既不存在“无穷小的数”也不存在“无限逼近”，在基础的分析里只有一个过程才可能“无穷小”，但0.9循环是一个数，它不是一个过程，或者说，0.9循环是(0.9,0.99,0.999……)这个过程的结果

1和(0.9,0.99,0.999……)的差是无穷小
1和0.9循环的差是0

—— 来自 鹅球 v3.0.85-alpha

阿菠萝13

qqks 发表于 2024-10-28 13:27
但是跟楼主的疑问没关系啊

九进制也不是一切代数式都能除尽呀，讨厌无限循环的话哪个能除尽就用哪个呗

那你要这么说的话，10进制不也一样，除以5就行了，干嘛要除以3
你无非就想找个10进制下除不尽而9进制下除得尽的数，比如3，而我的意思是你找这个数有什么用，十进制下的0.9999……=1等价于9进制下的0.8888……=1，你没有解决问题啊

qqks

阿菠萝13 发表于 2024-10-28 13:40
那你要这么说的话，10进制不也一样，除以5就行了，干嘛要除以3
你无非就想找个10进制下除不尽而9进制下除 ...

因为要表达（1/3）x3这个式子啊




这个式子很常见吧


因为1/3在十进制下表达式为0.3333无限循环


又因为3×（1/3）=1那么推得0.9999无限循环在十进制下就只能等于1了呀


除此之外还能是啥


这就是进位制匹配导制的无限循环小数问题


觉得搞，那是因为人类的数学符号就是这德行，凑合凑合得了

紫吹兰

gammatau 发表于 2024-10-28 08:35
数学符号的语言学问题，那就是数学问题。

顶楼的问题源于使用了一个计数系统却没有定义相关的概念，没有 ...

这是一个纯粹的语言构架本身中的定义问题，也就是说是对于数学这一语言体系而言是个外部问题，而不是数学语言体系内的内部问题，这个问题不可能在数学语言体系内得到解答，所以说这是一个关于数学的语言学问题而不是数学语言内的问题。按照现在的学科分类的话，这是个数学哲学或者时髦一点的说法，元数学问题。

jkl

虽然实数构造是大学工科生都不学的东西，但我觉得初中生未必看不懂，只是直观上没什么用而已。真感兴趣先买本《数学分析新讲》看看

TiiTiiLL

严格意义上的理解确实需要实变函数的知识，除了数学专业一般都不会上这门课，不过对小学生来说分数那种非正式的证明已经够了

houlls

这个实际上是定义出来的
数具有可比性及有序性
两个数A和B，要么A>B要么A=B要么A<B
所以实际上你在1和0.9循环中间找不到任何一个数字，所以1=0.9循环

队长是我别开枪

houlls 发表于 2024-10-28 15:15
这个实际上是定义出来的
数具有可比性及有序性
两个数A和B，要么A>B要么A=B要么A ...

“找不到”与“不存在”不一样吧

Xenor

可以去看血色星期一，记得里面的BOSS在纸上写过这个的证明过程很容易就证明了，当时觉得很震惊感觉很有道理也无法反驳

xzp1024

《张宇高等数学三十讲》，请

—— 来自 HUAWEI DCO-AL00, Android 12上的 S1Next-鹅版 v2.5.2

ChengChung

根据wiki上循环小数里面的定义
如果能转变看法并接受：
1、不唯一性
使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如这个楼所提到的例子
2、有理数的定义：可以表达为两个整数比的数被定义为有理数
并且：循环小数都为有理数的小数表示形式
从而得出循环小数都可以用两个整数比的分数来表示的结论，并通过将不同的小数化为相同的分数来证明原始表示形式上是同一个数字
这样就很容易理解1和0.999...其实是相等的

houlls

队长是我别开枪 发表于 2024-10-28 15:24
“找不到”与“不存在”不一样吧

这里找不到就是不存在的意思

CR2

0.3循环是1/3啊，0.9循环就是1/3✖️3，按照分数乘法约掉分母不就是1

hollowd

0.99..具象化就是以纸上为起点，把9写到本宇宙的尽头

ranger_wang

你问莱布尼茨和牛顿去。无限小无限大本来就是人为定义的。你还能在自然界找到不成？

ranger_wang

hollowd 发表于 2024-10-28 15:54
0.99..具象化就是以纸上为起点，把9写到本宇宙的尽头

宇宙尽头那也不是无穷啊。无穷就是无穷，不可能在自然界找到。

wing130083

队长是我别开枪 发表于 2024-10-28 15:24
“找不到”与“不存在”不一样吧

不就是一回事？
难道你想说有些东西”找不到但是存在“？
那你还得严格定义找到是什么样的动作
比如证明就是一个严格定义好的动作，所以我们可以说某些定理”不能证明但正确“

老岳

很难解释，小孩哥大概思维过程是“1个鸡蛋比0个鸡蛋多所以1>0”，学了分数以后1.2＞0.2，进而得出1开头肯定大于0开头的结论，所以第一步先要解决这个看似合理的推断过程

zzybot

这不是十进制与无限循环小数定义的问题吗？
0.99999999…-0.888888888…=0.111111111… ，因为它不进位。
而
1-0.9999999…＝0，因为它要进位所以
0.000000000…1是错误的，直观上这个答案应该是无限个0后以1结尾，但这与无限循环小数相悖。
换个说法：
0.1+0.9＝1
0.01+0.99=1
0.001+0.999=1
因为有进位的存在，前者必须是最后一位为1，而无限循环小数的定义下，不存在0.000000000000…1这个数，所以1和0.999999999…之间没有任何数存在，所以1=0.99999999…



—— 来自 鹅球 v3.3.92-alpha

ch_Ange

楼里大多数人实在是给我看绷不住了……
根据我的个人经验，互联网上关于这个问题的所有争论，原因只有一个：根本不知道0.9循环是什么。
在不知道它是什么的时候讨论它的性质本身就很微妙了，当然这源于实际教育中对无穷循环小数的定义完全是糊弄过去的（考虑到可行性也基本上只能糊弄过去）。
一旦了解了“小数的循环记法”（此时还是一个有待特定上下文解释的字符串）是如何被确切的规则映射到一个数字的，0.9循环=1就是不言自明的了。而如果没有了解，那讨论本身就是 rubbish。
所以如果你真的很想给小孩子讲清楚这件事，建议自己花一段时间把这个学明白再讲，其实并没有很难。来自: iPhone客户端

金泽龙

队长是我别开枪 发表于 2024-10-28 15:24
“找不到”与“不存在”不一样吧

他的表述有问题。
现在数学体系下可以证明“不存在”。

zeax

这个会不会更好理解：
设 𝑥=0.99循环，10𝑥=9.99循环。
10𝑥-𝑥=9.99循环-0.99循环=9。
即，9𝑥=9，x=1