对于0.99循环等不等于1，这个有比较易懂的讲解视频吗？

omnitoken

ozo 发表于 2024-10-27 17:58
你这小老弟给自己设的前提就已经是选择性失明了。
要说直接写法，起码要全写出来吧，等他全写出来了再说 ...

这个才是正确的对楼主儿子解释的思路

再说0.9循环上面还有一个点呢，哪长得一样了

—— 来自 Xiaomi Mi 10, Android 13上的 S1Next-鹅版 v3.0.0.81-alpha

nohope

奇_伢 发表于 2024-10-27 16:51
让孩子参加一次拼多多微信提款活动，他就大概明白了，0.999999999………永远达不到1的概念。

论坛助手,iPh ...

黄金体验镇魂曲@@@

—— 来自 鹅球 v3.0.87-alpha

الطائر

实数习惯写法会给普通人造成认知误导，以为问题很简单。

习惯用 1 = 1.000... 这个不严谨的写法。形式上胡乱写出 1.234... 究竟是指 1.23444... 还是 1.234234234...？还是无理数 1.23456789101112... ？太模糊了。
手动写出循环节，就能去掉省略号。比如 1.2{34}•，原问题就成了比如 0.9{99}• 是否等于 1.{0}•，把大括号的位置挪了挪，是不是看起来没那么简单了？

在此之前，还有更基本的问题没解决呢：

请问，0.{11}• 是否等于 0.{1}•？1.{00}• 是否等于 1.{0}•？怎么证明？引入了循环节这个奇怪的写法，凭什么按照“常识”说等于或不等于？
进一步说，0.{1}• 是否等于 1/9，0.{142857}• 是否等于 1/7？ 0.{333}• 是否等于 1/3？ 1.{0}• 是否等于 整数 1？

如果强行定义 n.{a}• = n + a/9， n.{ab}• = n + ab/99，n.{abc}• = n + abc/999，n.xyz{abc}• = n + xyz/1000 + abc/999000，abc 表示一个3位的自然数。
这时其实就可以直接算出答案，所谓初等方法就是偷偷藏了类似定义不明说：
比如 0.{11}• = 0 + 11/99 = 0 + 1/9 = 0.{1}• ，1.{00}• = 1 + 00/99 =  1 + 0/9 = 1.{0}• ，0.{142857}• = 142857/999999 = 1/7，0.{333}• = 333/999 =1/3。
类似地，原问题左边是 0.{9}• = 0 + 9/9，右边是 1.{0}•  = 1 + 0/9，按照有理数的性质，两边相等。

但凭什么这样定义呢？9、99、999、999000 是哪里来的呢？这就需要用到极限的思想了。
循环节的概念来自无穷级数加法，即 0.{3}• 相当于 0 + 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... 这类似有限次等比数列求和，但这里求和无穷次。
注意到级数的每一项都不一样。要问怎么能加出有限的结果？并不是所有无穷级数都收敛。得先研究有限项求和N次的和 S(N)。
例如 N = 4，有 S(4) = 0 + 3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 = 1/3 -  1/30000；
例如 N = 100，有 S(100) = 0 + 3/10 + 3/100 + ... + 3/10^100 = 1/3 -  1/(3*10^100)。
注意到 S(0), S(1), S(2) 等是不断递增的有理数，它们有上界 1/3，和 1/3 只相差一个 1/(3*10^N)，N越大，差值越小。
不管给出多小的数 epsilon，都能找到一个足够大的求和次数 K，使得 |S(K) - 1/3| < epsilon。
可以称 S(☆) = 1/3 为数列 S(N) （在 N 趋向无穷大时）的极限，它本身不在数列 S(N) 中。也就是说 S(N) 永远达不到 1/3，但 S(☆) 就是 1/3。
这时，如果我们温柔地定义 n.{abc}• = “数列 S(N) 即 n + 从0到N求和 abc/1000^N” 的极限 S(☆)，就可以推导出前面的定义了。

这里讨论的是，给出循环节，对应等比递减数列求和，得到递增有理数列，极限仍然是有理数。
一般的实数，对应的是任意递减数列求和，得到的递增有理数列，极限可能是无理数，它也不能用循环节表示，说根号2 = 1.4142... 纯粹是偷懒写不下。

右代宫嘉音

这个 其实1并不存在啊，1本身就是0.9999的极限来自: iPhone客户端

netscape

按照p进制小数的定义取p10，0.9循环就是9/10+9/100+........，然后高中生也会做了。

⑨

看看李永乐老师那个视频，讲的挺清楚的

—— 来自 鹅球 v3.1.88.3

铃森冬

楼上谜叔说的在点上，会产生这个疑问其实是因为没认识到数和数的表示或者说记号不是是一回事，尝试用尽可能通俗的方式具体解释一下：

义务教育阶段从学习自然数到整数到有理数（分数）再到实数（无限小数）的过程里，更复杂的数像是到了一定阶段凭空冒出来的一样，但其实用一些数学语言有办法一步一步从前一种严谨构造出后一种

比如说分数无非是整数对上划分出的等价类罢了，我们规定整数对 (a, b) ～ (c, d) 当且仅当 a * d = b * c 其中 a b c d 是整数且 b d 不能取 0，可以验证由此定义出的二元关系 ～ 满足自反对称传递的性质是一个等价关系

把 (a, b) 记作 a/b 就有了我们熟悉的分数（当然你还要补充整数对的等价类之间存在合理的四则运算），不难验证 3/2 = 6/4 是因为 3 * 4 = 2 * 6 = 12

在此基础上我们人为的选择了分子分母互素的既约分数作为表示一个有理数的典范形式，不这么写考试就可能扣分的那种

类似的从有理数构造出实数不妨采用柯西列（足够靠后的项之间都充分接近的数列，严谨的陈述需要一点 epsilon-delta 语言）的思路，我们在有理数的柯西列上定义等价关系 ～ 当且仅当两个数列之差在足够靠后的项上都充分接近 0 ，由此划分出的等价类就是实数

小数作为实数严谨的来说应当被看成一个数列，比如说 0.999… 其实是我们给数列 (0, 0.9, 0.99, 0.999……) 的一个记号，就跟我们用 3/2 表记上文里的整数对 (3, 2) 一样，不难验证小数展开出的数列一定是柯西列，也就对应一个实数，而 0.999… = 1 无非是因为这两个数列在上面提到的等价关系意义下等价而已

由此实数总是有这样的性质：如果两个实数 x 和 y 的差小于任何的正数，那么这两个数就相等，如果接受这一点就不难理解为什么会有 0.999… = 1 了

在此基础上，和我们规定有理数要写成既约分数一样，我们规定能写成有限小数的时候这种写法是用小数表示实数的典范形式，事实上有限小数都有另一种不典范的形式，比如你也可以把 1.5 写成 1.4999… 当然考试上真这么写了可以看看老师会不会抽你


注：解释上面这一套其实不需要完整的极限的概念，毕竟不用真的关心是否收敛的问题，小数的形式已经自动帮你保证这一点了，关键是只要把握住如果两个分数能互相通分的话就是同一个数，和两个小数只要充分接近的话就是同一个数这两件事情之间的类比就够了

office技术交流

本楼前两个回帖就是两种经典误解

  -- 来自 能搜索的 Stage1官方 Android客户端

御坂MKII

放数学史感觉真有用，微积分刚开始这段时间的数学史确实相当精彩因为当时理论基础未建立，收敛与不收敛的定义也未清晰，现在知名的各种数学家也整出来过各种奇怪的发散的无穷级数的活 当时还真有人觉得数学要不存在了

个人推荐 M 克莱因的《古今数学思想》（和写 how to solve it 的 G 波利亚一样都是很著名的数学教育家）

CCauchy

极限是个过程，永远达不到也就意味着永远在逼近，以至于0.999……与1之间没有其他数，那么就认为这是同一个数

论坛助手,iPhone

干嘛呢

因为数学不是阿拉伯数字，阿拉伯数字只是数学的表达形式。数学甚至在现实世界中不存在，在数学这个实体中，数学家发现了这个情况，并做出了证明。
这样是否能够说服？

kokeiisama

【数学为啥这么招人烦-哔哩哔哩】 https://b23.tv/erBbDt5

—— 来自 鹅球 v3.2.91

小野賢章

让他找一个 0.9 循环和 1 之间的数字

humphrey

毕竟小数可谓最烂的实数表示法
但我们也没有办法，你总不能每次都拿戴德金分割来写算式吧

Virgilutr

不存在大于0.9999循环且小于1的数

logiccat

极限概念不能用算术法则简单计算，否则会出很多乱子，本来就不是一个数学体系

不如就直接告诉他，这部分你现在还没学到，如果你坚持学数学以后会学到的。

星星海星

mirrorsidee 发表于 2024-10-27 17:29
也不是小不小于的事，是他认为这俩数他不是一个数，都是阿拉伯数字平铺直叙的写法长的却不一样，所以值肯 ...

这个简单，你告诉他0.9无限循环就不是所谓阿拉伯数字形式的写法。相反正是用阿拉伯数字无法写出这个数才有了这个替代的写法。任何0.xx的数都比他小恰恰说明了1才是这个无限循环小数在阿拉伯数字形式下正确的写法。

—— 来自 HUAWEI DBR-W10, Android 12上的 S1Next-鹅版 v2.5.4

AlienFromEarth

因为不存在0.0000……0001

Prolun

小学生理解戴德金分割其实也不难吧。

扔骰子

本异末同 发表于 2024-10-27 16:59
实数的稠密性，任何两个实数中间都有无穷多个实数，假设0.999…和1不是一个数，那他们中间必然还可以找到 ...

你别说这楼里所有的解释里你这个最直观，浅显易懂

蜇灵

这小老弟确实是钻牛角尖了，1和9/9和0.9...本身就是一个数的不同写法

雪城飞鸟

有一说一如果这都接受不了，那将来学波粒二象性的时候岂不是脑子都要炸了

蜇灵

阿梓Azusa 发表于 2024-10-27 21:05
无限小等于0，1-0.999999....等于无限小，所以1-0.99999999...=0

你这第一步怕是就有一堆人不同意了

浅川瞳Hitomi

当年学了戴德金分割构造实数，构造有理数。但我只记得个名字了

圣锤修会

建议直接讲戴德金分割，那个想法其实非常的自然，小学生是完全可以理解的，我小时候就冒出过类似的想法

—— 来自 鹅球 v3.1.88.3-alpha

长生久视

mirrorsidee 发表于 2024-10-27 16:48
应该是和同学看手机网上看到了，然后都钻牛角尖了这孩子又犟，今天和老妈吵起来了

—— 来自 鹅球 v3.2. ...

犟不怕，就怕不讲道理。他认为不相等，你问他为啥不相等，这是不可能回答正确的，然后有理有据反驳就行了

长生久视

الطائر 发表于 2024-10-27 19:23
实数习惯写法会给普通人造成认知误导，以为问题很简单。

习惯用 1 = 1.000... 这个不严谨的写法。形式上胡 ...

哪需要这么复杂，你让小朋友证明他们不相等就行了，肯定死也证不出来的hh

云棋水镜

让小朋友好好学习吧，告诉小朋友这个问题其实很高深，现在说不明白的，引起小朋友对数学的兴趣，你看这楼里都已经一堆错误论证了

iewnay

数学上可以证明，但是实际上麽，这不是还有个普朗克量麽。
目前为止，物理上无法做到无限分割。
当然，科学嘛，总是要被不断证伪的，既然数学上可以证明，那么物理上总有一天会有进一步突破的。

drodchang

这个不用极限的定义，很难说得清楚

重巡羊舰

为啥小学要学极限啊……课外知识嘛

过河小马

他没理解什么是无限，或者说情感上不接受无限

幻想训诂

我们找不到无穷小量。
认为无穷小量不存在/不规范的人，构造一套理论：实数完备性，得到无穷小量就是 0，否认了无穷小量的独立存在。
与此同时，对于无穷大量，人们往往习以为常，名正言顺塞进来，称之为扩充实数系 R∞
然而，无穷大量和无穷小量可以说是成对出现 。（1/∞）：这不是显而易见吗？
感觉这才是引起纷争的主因·。

jttls

无限循环小数可以直接四则运算吗，我怎么记得必须转化为分数才可以四则运算

Bryce.T

其实这是一个定义的问题，可以等也可以不等。如果你接受实数的构造，0.9循环实际是一个柯西序列，它和1是等价的，模掉等价关系后0.9循环就和1相等了。

如果你不接受实数的构造，比如设定0.9循环和1之间存在别的数，那么你将会得到一个不同于实数的代数结构，以前感兴趣的时候查过wiki，但是忘记这个代数结构的名字了

总之这是一个看你如何下定义的问题

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搜了一下，这个包含了无穷小数的代数结构叫 超现实数（surreal number），有兴趣的可以查查看

万物为玄一

【0.9循环等于1？-哔哩哔哩】 https://b23.tv/57FngJ9

【0.9循环真的等于1-哔哩哔哩】 https://b23.tv/zosfp88

看这2个视频

Za2134wer

就好比第一次认识到小数，无理数，虚数之类的概念，等到认知了极限自然就理解了
需要明白数学是方法论，不一定是现实存在的东西，和语文英语这种学科还是有本质的不同的

jttls

0.9循环转化为分数形式不就是1吗，有什么好纠结的