请教一道类三门问题的概率题

k1no

原题是这么讲的：

前方有三扇门，你没看清楚怪盗逃进了哪扇门，正当你准备冲进A门试试运气时，电话响了。警局得到线索，确认怪盗一定不会从C门逃走。假设这个线索为真，此时你决定走哪扇门

有说是三门问题的。百度百科是这么写的：

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率。如果严格按照上述的条件，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。

我想这和标准的三门问题有些出入。
1.前题选定了A门，不存在选B再改A的事件。
2.警局只会开C门且不知C门具体情况。而主持人会开其中一只羊，不固定门。
直觉上应该都是1/2才对。

kerorara

又是条件概率。
第一次求的是P(A是怪盗)，第二次如果换门，求的是P(B是怪盗|C不是怪盗)。

gdx23532

我觉得这类问题都可以把门的数量增加到100扇然后排除98扇再思考答案

HighTouch

感觉还是跟题干文字描述关系很高

三门问题最后概率上升的原因是：
1. 玩家首先选择一个门
2. 主持人在剩下两个门里边排除了一个错误选项
这个顺序很重要，因为玩家1的操作影响了后面主持人的操作。如果换种描述，在玩家做出选择之前，主持人先排除一个门(即1和2调换操作顺序)，那么概率就不会上升（两个门都是1/2）

从这个题干来看，更偏向于先2后1，因为警察不知道你选了是那扇门，信息量是不同的

吃饭

主持人的行为受你选择的影响，但是警局不受你影响啊，压根就不是三门问题

嘉术2015

主持人知道哪扇门后面有车
但警察局只知道哪扇门后面没贼
这根本不是三门问题

logiczr

可以根据增加样本类比：
三门问题中，假设我们一共做3N次试验，这时有N次选中了有车门，2N次选中无车门。这时候，主持人知道那一扇门后面有车。对于N次选中了有车门的情况，主持人打开一扇无车门，你选择另一扇门，那么这扇门必是无车门，这时候选到车的次数是0次。对于2N次选中了无车门的情况，主持人会打开一扇无车门（主持人一定会打开一扇无车门），这时你目前选中的是无车门，打开一扇门无车门，你这时候再换门，必然会选中有车门，这时候2N次都有车。一共3N次选择，2N次有车，所以P=2/3。
小偷问题中，我们同样做3N次实验，同样有N次选对门，2N次选错门。在N次选对门的情况下，电话帮你排除一扇门，此时你换门，0次逮到贼。2N次选错的情况下，你换门，2N次逮到贼。P=2/3。

这里有关于JC局的分歧，JC局一定会告诉你一扇门后面没有贼，一共两扇门后面没有贼，同时告诉你的这扇门一定不是你当前选择的这扇门。也就是说，JC局变相的知道了哪扇门后面有贼哪扇门后面没贼，无论如何，他都会告诉你一扇门没有贼（且不是你选的这个门）。也就是说JC局和主持人一样，都知道全貌，但一定会告诉你一扇没小偷（没车）的门。

—— 来自 HONOR CHL-AL00, Android 10上的 S1Next-鹅版 v2.5.4

bourier

想不通三门问题的，建议都花钱找人玩100次
如果真金白银还是不能让人领悟，那就放弃吧

sqze

嗯，前面有三扇门，A、B、C。我本来没看清楚怪盗逃进了哪扇门，准备冲进A门试试运气。可是电话响了，警局说怪盗一定不会从C门逃走。这个线索是真的，那我应该怎么办呢？

首先，我原本有三个选择，A、B、C，每个门都有可能。现在排除了C门，那只剩下A和B两个选项了。我原本可能认为每个门的概率是三分之一，现在C门被排除了，那A和B的概率是不是各有一半了？可是，我之前已经决定要冲进A门，这是否意味着A门比B门更有优势呢？

等等，我是不是有些犹豫？警局说怪盗不会从C门逃走，那是不是意味着怪盗一定在A或B门里？那我应该选择A还是B呢？如果我坚持选择A门，可能是因为我最初就倾向于A门，但既然C门被排除了，选择B门可能也是个不错的选择。

不过，我是不是应该更理性一点，来计算一下概率？假设最初怪盗逃进A、B、C门的概率都是1/3。现在知道他不会从C门逃走，那C门的概率变成0，那A和B的概率是不是应该重新分配？总概率要等于1，所以A和B的概率各是1/2。

可是，如果我最初已经决定要冲进A门，现在知道C门没用，那我是不是应该重新考虑一下？也许B门更有可能，或者A门其实概率还是一样高。

等等，这让我想起了一个经典的概率问题，就是三门问题。在那个问题里，有三扇门，一扇门后有奖品，另外两扇门后没有。你选择一扇门，然后主持人打开一扇没有奖品的门，问你是否要换另一扇门。根据三门问题的解答，换门会增加中奖的概率。

但是，这个情况好像不太一样。在这个问题里，警局告诉我怪盗不会从C门逃走，这相当于主持人告诉我C门是错误的选择，但不同的是，警局的线索是基于他们的信息，而三门问题中的主持人是根据我的选择来打开一扇错误的门。

也许我需要更仔细地分析一下。假设最初怪盗逃进A、B、C门的概率都是1/3。现在知道他不在C门，那根据条件概率，怪盗在A门的概率是1/2，B门也是1/2。所以，选择A或B的概率是一样的，都是1/2。

但是，我原本已经打算选择A门，现在有新的信息，我是否应该改变我的选择？如果我坚持选择A门，那我的成功概率是1/2；如果我选择B门，也是1/2。所以，从概率上来说，选择A或B都是相同的。

可是，这和直觉有点不太一样。也许我应该考虑一下，警局提供的线索是如何得出的。如果警局是通过某种方式确定怪盗不会从C门逃走，那这个信息是可靠的。那我就必须排除C门，只在A和B之间选择。

不过，也有可能警局的线索并不是完全准确的，或者有其他隐藏的信息。但是，题目中说假设这个线索为真，所以我就按这个来考虑。

另外，我可能有些过度思考了。简单来说，排除了C门，只剩下A和B两个选择，概率各是1/2，选择哪个都是一样的。

不过，如果我最初已经选择了A门，现在知道C门没用，那我是否应该坚持选择A门，还是换到B门？这又回到了三门问题的思路。

在三门问题中，如果你最初选择了一扇门，主持人打开一扇错误的门，然后给你换的机会，你应该换，因为换的话中奖概率是2/3，不换是1/3。

但是，在这个问题中，警局告诉我C门没用，这相当于告诉我C门是错误的，但并没有根据我的选择来排除C门，所以可能不太一样。

也许我应该假设警局的线索是独立于我的选择的，也就是说，他们只是单纯地告诉我C门没用，这并不影响A和B之间的概率。

所以，A和B的概率各是1/2，选择哪个都是一样的。

不过，如果我最初已经选择了A门，现在知道C门没用，我是否应该重新评估一下A和B的概率？

也许我应该更加理性地来看待这个问题。首先，确定怪盗在A、B、C门的概率是1/3，1/3，1/3。现在知道他不在C门，所以A和B的概率应该重新计算。

根据条件概率，P(A|¬C) = P(A)/[P(A)+P(B)] = (1/3)/(1/3 + 1/3) = 1/2

同理，P(B|¬C) = 1/2

所以，选择A或B的概率都是1/2，选择哪个都一样。

那么，我应该选择A门还是B门呢？从概率上来说，没有区别。

不过，如果我原本已经选择了A门，现在有新的信息，我是否应该坚持选择A门，或者换到B门？

在三门问题中，主持人知道奖品在哪里，并且总是打开一扇错误的门，这样换门会增加中奖的概率。

但是，在这个问题中，警局告诉我C门没用，这可能不依赖于我的选择，所以可能不适用三门问题的逻辑。

因此，可能选择A或B的概率是一样的，都是1/2。

所以，我可以选择A门，也可以选择B门，概率上没有差别。

不过，可能我还是倾向于选择A门，因为我最初就打算选择A门。

但理性上来说，选择B门也没有优势。

所以，最终决定是选择A门或者B门都可以，概率相同。

初始情况：有三扇门（A、B、C），怪盗逃进其中一扇门，每扇门的概率均为1/3。

获得线索：警局确认怪盗不会从C门逃走，这个信息为真。

条件概率：现在怪盗只能在A或B门中，排除C门后，A和B的概率需要重新计算。

重新分配概率：

P(A | 不是C) = P(A) / [P(A) + P(B)] = (1/3) / (1/3 + 1/3) = 1/2

P(B | 不是C) = 1/2

选择策略：A和B的概率相同，均为1/2，因此选择A或B没有区别。

最终决定：选择A门或B门均可，成功概率相同，均为50%。

AI表示随意选

黑夜守望者

同意楼下的

相见恨晚

就开C门，哪有这么巧，肯定是怪盗伪装打的电话

星河涛声

因为警察没有【刻意从我没选的选项里排除错误选项】这个步骤，他直接排除了错误选项。
比如假设我一开始决定冲C，警察来排除了C，那么AB对半分50%，如果我一开始还没决定，警察来排除了C，依然是AB对半分50%

Azcarlo

这个和三门不一样，三门是排除剩下的门里不对的一个，这个是直接排除一个特定的门。

— from S1 Next Goose v3.2.91

HYNDコン

准备去a和准备去b等价，你开a可以说自己准备去b然后换了，你开b可以说自己准备去a然后换了，反正都是你对

卡奥斯·克斯拉

总觉得3门是博弈而不纯自然概率主持人的动机是条件

AshPenguin

其实就是看A和C是不是独立事件
经典三门里主持人肯定不会选你已经选了的那扇门 所以这两者是相关事件
如果是警局的例子 AC可能是同一个 那就换不换没影响

浪子龙飞z

卡奥斯·克斯拉 发表于 2024-12-17 04:27
总觉得3门是博弈而不纯自然概率主持人的动机是条件

怎么还能把三门问题里的主持人人格化的
它只不过是一个条件“排除剩下的门中的一项错误选项”，这和动机有什么关系

浪子龙飞z

HighTouch 发表于 2024-12-16 11:13
感觉还是跟题干文字描述关系很高

三门问题最后概率上升的原因是：

那按你这个说法，如果有100道门我先选的1，然后警察打电话来说怪盗不在3-100号门，那1、2号门还是1/2概率吗？

星十影

你是不是看了“不愧是姐姐大人”新更的视频

—— 来自 鹅球 v3.1.88.3-alpha

-orib

前面几楼已经说得很到位了，我换个角度再啰嗦一遍。从古典概型的基本原理考虑：样本空间里都是等可能事件。

此题里面，我选哪个门、怪盗走哪个门和警局查哪个门都是独立的事件，所以在没有更多信息的情况下，三者的任意组合都是等可能的。这就是全体事件的空间，一共有3*3*3=27个等可能情况。

现在我们来看条件限定下的样本空间。我选了A，警察选了C，27个里面已经被排除得只剩3个了；现在警察查C是空的，说明怪盗走C的情况也被排除，所以又排除一个，条件限定下的样本空间里只有两个等可能事件：怪盗走A和怪盗走B。这种情况下，换不换概率都是50%。

三门问题有什么不同？因为虽然我选哪个门和车在哪个门是互相独立的事件，但主持人开哪个门不是：他必然不会开有车的门，还一定不会开你的。这就导致主持人的选择不是一个随机事件：如果我一开始没选对，主持人只有唯一的选择；如果我选对了，主持人才可以随便选一扇空门。但是这种情况下，主持人的选择的概率是不等的。实际上，后面两扇空门二选一的概率只是一开始唯一选择的一半。这样，实际呈现出来的样本空间里的事件就不是等概率的，而是有点@的概率大、有的概率小，比如这里就是{1，1，0.5，0.5}这样。所以最后换门选对的概率才是2/3。

  -- 来自 能手机投票的 Stage1官方 Android客户端

-orib

浪子龙飞z 发表于 2024-12-17 07:26:18
那按你这个说法，如果有100道门我先选的1，然后警察打电话来说怪盗不在3-100号门，那1、2号门还是1/2概率 ...

只要警察是随机选了98扇门结果都没中，那就还是1/2

  -- 来自 有消息提醒的 Stage1官方 Android客户端

ggby

核心区别就是警局电话有可能说的是你选中的那扇，但三门问题必不是

—— 来自 HUAWEI NOH-AN00, Android 12上的 S1Next-鹅版 v2.5.4

jttls

三门问题直接扑克牌牌面朝上操作几遍不就明白了，左手选一张牌的同时意味着右手选了两张牌，你选了一扇门，可警察局也只选了一扇门，总有一扇门的信息。
假如你认为警察局知道两扇门信息却只和你说一扇门的信息，那这题也没必要硬套现实场景了，该先抓内鬼了

k1no

星十影 发表于 2024-12-17 08:10
你是不是看了“不愧是姐姐大人”新更的视频

—— 来自 鹅球 v3.1.88.3-alpha

正是

中已矣

选C，既然是怪盗冒用j方给侦探错误信息是必然。

jinyuede1

这个的变种其实是，3个门，然后有3个人去选，警察等于先选的那个，而你是后选的那个，所以概率上来说，无论你之前想开的是什么，都不会影响

星十影

k1no 发表于 2024-12-17 09:47
正是

这期把抽象的问题说得太具体了，所以引发了其它的具体问题，然后就跑偏了
再比如那个审问怪盗粉丝的那个问题，我第一个反应是大记忆恢复术

—— 来自 鹅球 v3.1.88.3-alpha

浪子龙飞z

-orib 发表于 2024-12-17 08:56
只要警察是随机选了98扇门结果都没中，那就还是1/2

  -- 来自 有消息提醒的 Stage1官方 Android客户端 ...

所以虽然看起来先后确实会影响逻辑，但实际上背后的问题关键不在于先后而是你开门和主持人之间的相互影响，主持人开98扇空门的概率是100%，而警察局不是，每开一扇空门下一次开空门的概率会变低，除非这个线索是怪盗告诉警察局的