【概率问题】搞不懂为什么二项分布要用到组合学？

中二小旋风

问了ai，ai这么回答我：

二项分布是概率论和统计学中的一种重要分布，它描述了在n次独立的伯努利试验中，成功的次数的概率分布。让我们来理解为什么它与组合学有关。

伯努利试验：首先，我们需要了解伯努利试验。这是一类只有两个可能结果的试验，例如抛硬币、掷骰子等。在每次试验中，结果A出现的概率为p，结果B出现的概率为q=1−p。

二项分布：现在考虑n次独立的伯努利试验，我们想知道结果A出现k次的概率。这就是二项分布所研究的内容。在这里，我们使用了组合数来计算这些概率。

二项分布的概率质量函数为：bk​=P(β=k)=pkq(1−k),k=0,1,2,…,n

其中，bk​表示在n次试验中结果A出现k次的概率，p是结果A出现的概率，q是结果B出现的概率。

组合数：组合数表示在n次试验中出现x次结果的可能的次数。例如，在10次试验中，出现0次正面的次数有1种可能，出现1次正面的次数有10种可能，出现5次正面的次数有252种可能，依此类推。

组合数的计算公式为：C(n,x)=x!(n−x)!n!​

这里，n表示试验次数，x表示出现某个结果的次数。

杨辉三角形：如果你不熟悉组合数的计算，可以查看杨辉三角形。每一行的数字是上一行相邻两个数字的和。这与二项式定理展开式中的系数有关。

总之，二项分布和组合学紧密相关，帮助我们计算在伯努利试验中出现特定次数结果的概率。需要注意的是，二项分布是建立在有放回抽样的基础上，而在实际工作中，我们通常使用无放回抽样，这时需要用超几何分布来计算概率。12

看完了还是搞不懂为什么“n次试验中出现x次结果的可能的次数”可以用到组合数来解决？我实在笨，看不到这两者之间有什么关系？


在我看来他们要描述的问题不一样啊，组合学描述的是“n个数里面，任取m（m小于等于n）个数，有多少种组合可能”。


为什么“n次试验中出现x次结果的可能的次数”可以等价于上面的描述啊？？

Mar_s

你把实验次数进行编号，就可以视作在n个编号里取x个作为结果的一种可能，即结果总数为C(x,n)

tsubasa9

别ai了，找本高中数学课本看吧

中二小旋风

tsubasa9 发表于 2023-11-12 00:19
别ai了，找本高中数学课本看吧

我把b站上关于这个的数学课程看了，还是没搞懂

电波系腑海林

等价于排列组合

CCauchy

组合数理解错了，别用具体古典概型实例分散注意力，直接从二项式系数开始

论坛助手,iPhone

lin2004

你拿两个骰子看看丢出来的数字合计是2有几个组合，7有几个组合还不够直观么...

afsd109

这种问题你先自己写个简单的列出来就知道了
比如连续抛3次硬币，正面0反面1那就是
1.（0，0，0）
2.（0，0，1）
3.（0，1，0）
4.（0，1，1）
5.（1，0，0）
6.（1，0，1）
7.（1，1，0）
8.（1，1，1）

fuochai

古典概型 出现n次可以分解成很多种情况 这些情况的数量可以用组合数表示 m个里出现n次 就是相当于从m个里取n个出来 就是C_m^n的值

中二小旋风

afsd109 发表于 2023-11-12 00:39
这种问题你先自己写个简单的列出来就知道了
比如连续抛3次硬币，正面0反面1那就是
1.（0，0，0）

可是如果3个数里面选2个组合，就是：
（1，2）
（1，3）
（2，3）
跟这个抛硬币完全不一样呀？

ork

中二小旋风 发表于 2023-11-12 01:07
可是如果3个数里面选2个组合，就是：
（1，2）
（1，3）

每个选项之间概率不一样的

中二小旋风

啊，我懂了，谢谢楼上各位的提醒。比如4次实验中2次为正面，其实就相当于把试验次数看作数字1、2、3、4，即第一次实验、第二次实验、第三次实验、第四次实验。
把出现“正面”的实验顺序位置当作选数字编号，比如第一次正、第二次反、第三次正、第四次反。这样就相当于选取数字1（正）、3（正），就等于选取2个数字来组合



如果在4次实验中出现3次正，就等于在4个数字中，选取3个不同的有正的位置进行组合。

不知道我这样理解对不对？

saraba7th

因为二项分布每次实验只有两种结果，所谓的n个数里取m个数，对每个数来说也只有“取”和“不取”两种结果

—— 来自 S1Fun

中二小旋风

saraba7th 发表于 2023-11-12 01:47
因为二项分布每次实验只有两种结果，所谓的n个数里取m个数，对每个数来说也只有“取”和“不取”两种结果

...

是这样的！！我想了好久，哈哈哈