一道数学题

choukouun

来源：https://www.weibo.com/1649589793/P2Kh05cnY





假设第一个矩形边长为m,n，第二个为s,t且s<t，用kimi新出的k0math暴力破解的结果：




然后就算不下去了，有什么不用挨个试的方法吗

亡亡鱼

为何结果是整数？

—— 来自 鹅球 v3.3.95-alpha

choukouun

亡亡鱼 发表于 2024-12-1 18:05
为何结果是整数？

—— 来自 鹅球 v3.3.95-alpha

因为原微博问的是整数解

Risa_g

设两个长方形的边长分别是a,b和c,d，且a<b, c<d。那么有a+b=2c+2d, 2ab=cd。后式变形d=2ab/c带入前式，可以解出b=(2c-a)c/(c-4a)。
接着设c-4a=r，那么就有
b=28aa/r+15a+2r
c=4a+r
d=14aa/r+4a
考虑r>0的情况下, b>a显然成立，于是只需a>r/根号14就能保证c<d。
要整数解，那么显然r=1, 2, 7, 14都是可行的，于是这就有了4组通解。对于r=1和r=2，a可以为1起的任意整数；对于r=7，a为2起任意整数；对于r=14，a为4起任意整数。同时对于每个成立的（a,b,c,d), （ka, kb, kc, kd)显然也是成立的。

不过这还不是完全解。可以验证a=6, r=8的解（6，232，32，87）就是一个不同于以上四组通解的解。具体还有哪些可能的解分析起来太麻烦了就懒得继续了，初步推断r=pnn (p=1,2,7或14), a=kn都能生成新的独特解。
r<0的状况有没有解也懒得去推了。

追加一下，r<0时，条件a<b即28aa/r+14a+2r>0这个不等式无实数解，所以无解。因此所有解都在r>0那一侧。

choukouun

毒菇 发表于 2024-12-2 06:56
记第一个长方形长宽a,b
第二个长方形长宽x, (a+b)＊2-x
有第二个长方形面积关系(a+b)＊2*x-x^2=ab/2

我确实是用求根公式解的，只是想知道有没有更好算的解法（下图判断l+k和l-k奇偶性有个笔误，是积为偶数）

………………

Mathematica的结果

choukouun

Risa_g 发表于 2024-12-2 01:27
设两个长方形的边长分别是a,b和c,d，且aa显然成立，于是只需a>r/根号14就能保证c ...

ytb看到一个视频，思路应该和你是一样的 https://youtu.be/watch?v=zIbP3qFr8c8

CCauchy

幻想训诂

Risa_g 发表于 2024-12-2 01:27
设两个长方形的边长分别是a,b和c,d，且aa显然成立，于是只需a>r/根号14就能保证c ...

1*33 和 6*11 成立，但是 2*66 和 12*22 好像不成立吧
---编辑---
我失了智，边长比k，面积比都是k^2，完全成立的。
感觉你这个写得简明扼要。
固定a，那么r取14a^2的每对因数里小的那一个。就得到所有整数解。
如果预处理素数表感觉可以快到起飞。

Risa_g

幻想训诂 发表于 2024-12-2 13:04
1*33 和 6*11 成立，但是 2*66 和 12*22 好像不成立吧

你验算过了么。。。
几何题其实最直观了，1米*33米 跟 2个"半米“*66个”半米“有任何区别么。

sheshiro

微博都是管杀不管埋的，估计就是一个整数解没想那么多，你贴这个上去他们就懵了

=w=

前10个解：

解1: w1=33, h1=1, w2=11, h2=6
解2: w1=33, h1=1, w2=6, h2=11
解3: w1=45, h1=1, w2=18, h2=5
解4: w1=45, h1=1, w2=5, h2=18
解5: w1=60, h1=2, w2=16, h2=15
解6: w1=60, h1=2, w2=15, h2=16
解7: w1=66, h1=2, w2=22, h2=12
解8: w1=66, h1=2, w2=12, h2=22
解9: w1=90, h1=2, w2=36, h2=10
解10: w1=90, h1=2, w2=10, h2=36

明显楼主贴出的是有漏掉的解

新人马甲2

试着简化一下解题思路

思路是，第一个正方形周长是第二个两倍，可以设第一个长方形长边加短边之和为2a，第二个为a，第一个长方形的一条边为b，第二个长方形的一条边为c

这样第一个长方形的面积可以表述为b(2a-b)，第二个长方形面积可表述为c(a-c)，公式就是2b(2a-b)=c(a-c)
这样列实际上就是在求b和c之间的比例，感觉不如设b=ax，c=ay，计算时设a=1就能直接略掉a

于是算式变成2•x(2-x)=y(1-y)
2x^2-4x+y-y^2=0

不过把这个方程的解换算回整数也许更麻烦？懒得继续算了