《表象与本质》读书笔记之：平行四边形是矩形吗？
本帖最后由 mindclicer 于 2024-12-6 21:53 编辑本文约有2500字。 最近在读认知科学家侯世达的《表象与本质》，直到读到第4章中间部分，本书给我的印象是文字的信息密度很大，作为深度阅读的体验很好，而第4章末尾的平行四边形范畴产生的迷思部分的内容则深深的震撼到了我，让我止不住产生了想要为这部分内容写下点什么并分享出来的冲动。 本书的核心观点是人类思维的本质是类比，而类比是通过不停运用无数的范畴(概念)完成的。一个范畴中的成员既可以是大多数人约定俗成的共同事物，也可以你是独创的产物，只要你认为能够自圆其说。用一个书中提供的例子来描述范畴是什么(我简写了这个例子)。 某个工作日的下午，你的同事对你说，我们去喝杯咖啡怎么样？于是你们下楼去了咖啡店，你点了红茶，同事点了拿铁。你们决定坐下慢慢喝，但刚喝了几口，你就收到了领导的要求催交报告的微信，于是你无奈地返回了公司。当你回到工位，却发现领导就在边上，他一字一句地对你说：“咖啡好喝吗？”你微笑地回答：“哎呀，领导，你那么忙，要注意喘口气啊，我帮你带了你爱喝的浓缩咖啡加奶油。” 当你仔细研究上文中出现的“咖啡”会发现其指代的含义是不尽相同的，同事所说的喝咖啡指代了“工作之余吃点东西顺便休息一下”这个活动，即使你们并没有在喝“咖啡”，大家也会认为你们去“喝了咖啡”。而上文最后出现的浓缩咖啡才是通常字面意义上的咖啡饮料。由此，相比后者，可以认为前者是一个抽象层次更加高的范畴(概念)。接下来看数学概念中的范畴，先来看一份小学四年级的数学课作业，题目1是对以下图中每个图形进行名称的标识。可使用的名称分别是“正方形S”、“矩形R”、“菱形Rh”、“平行四边形P”。 题目2是问答题，要你分别写出“正方形”、“矩形”、“菱形”、“平行四边形”的定义。这里直接给出答案。正方形有四个直角、四条等边且对边平行。矩形有四个直角、四条边且对边平行。菱形有四条等边且对边平行。平行四边形有四条边且对边平行。
温习过几何知识后，进入正题，来看一个描述了范畴之间抽象层次的模型。这是关于四边形和它的4个特殊成员之间关系的模型，运用的逻辑与上文中的“咖啡”是相同的。这个模型的描述了2个事实1. 四边形的抽象层次位于其他4类特殊的四边形之上2. 这4类特殊的四边形的抽象层次处于同一级别你能够根据上文给出的几何图形的定义发现这个模型对各个成员关系的描述错在哪里吗？
改进的例子这个模型中，把平行四边形的抽象层次进行了调整。然而，这个模型仍旧没有完全正确地描述出四边形和4类特殊四边形之间的抽象层次关系。如果你有兴趣，可以先不看下文，自己思考并动手画一下抽象模型，运用上文提到的图形定义(定义就是教科书上的内容，其中没有思维陷阱)。
即使你无法回答出正确答案也不用气馁，根据本书作者所说，大多数的法国中学生乃至大学生都无法答对上述问题，他们之中甚至有人拒绝接受正方形是矩形或是菱形。出于好奇，我去B站随手找了2个讲平行四边形的小学数学课的视频，想要确认一下我国课堂上是如何讲解平行四边形概念的。(2个视频信息在文章最后)虽然没有明说，但从2个视频中使用的教材来看，学生对于正方形和长方形概念的学习是先于平行四边形的，从特殊到一般(抽象)的过程符合认知规律，2个视频也都用了韦恩图来配合这样的教学计划，便于学生理解这些概念之间的关系。(2个截图都来自教学视频)当学生学习了图形的概念，并观察了韦恩图后，想来就会有一个很直观的感受，再犯下类似“正方形不是长方形(矩形)”的错误的可能性就会降低了。但上述教学内容仍旧没有完全解释清楚平行四边形和其相关概念之间的抽象层次关系，因为仔细查看2个教学视频，会发现教师都没有对韦恩图进行过多的讲解，而是当作之前教学内容的一个直观的总结。此时如果让学生给出四边形概念之间的抽象关系，他们大概率会写成如下的式子：
正方形→长方形→平行四边形→四边形
思考正方形和长方形这两个概念之间的关系，应该能够得出以下2个推论1) 所有的正方形都是长方形。2) 不是所有的长方形都是正方形。
仔细观察韦恩图就会发现，韦恩图实际上同时论述了2个方面的知识，一个是从最小的同心圆开始向外扩展，这是从特殊到抽象的过程，也是教学视频中默认的知识。可以进行这样的总结：1所有的正方形都是长方形。2所有的长方形都是平行四边形。3所有的平行四边形都是四边形。
而另一个方面的知识，则是从最大的圆开始向内看，这是从一般到特殊的过程，
4部分的四边形是平行四边形。5部分的平行四边形是长方形。6部分的长方形是正方形。
3和4都是从2个图形概念中推导得出的，而从3可以推导出4，但不能从4推导出3(一些A是B，只能推导出A和B存在交集，不能推导出B包含A)。从这一点上来说，这或许解释了使用韦恩图从里向外学习概念虽然很直观，但仍旧无法认识到这些抽象概念全貌的原因。说到这些，就该公布答案了，这个问题最大的陷阱就是，存在不是正方形也不是矩形(长方形)更不是菱形的“一般”的平行四边形。
对概念之间抽象层次的研究能够解释什么问题？书中说道，想要成为专家意味着要学会为数众多的该领域的概念(范畴)，以及同样重要的，要在各个概念之间建立正确的联系，而这些联系必然存在抽象层次上的平级和上下级关系，也就是要学会识别什么是什么的同时，也要学会识别什么不是什么。 写这篇文章的时候，看到了一篇某个数学教授的访谈，文章的题目是警惕将学生培养为“低配版AI”，其中有一段也引起了我的共鸣。摘录如下“第二，我常对自己的学生说——你们不要成为“低配版AI”。我们的教育很多时候把知识的掌握理解为做题，在大学也不例外。花短时间学习概念，再花大量的时间做题和应用，这是非常不正确的教育方式。学生并不是以一种非常清晰的方式去理解遇到的问题，是依靠长期做题训练培养出来的一种直觉。虽然这种直觉在一定范围内比较可靠，但问题稍微灵活一点，学生就不知作何解。如果你对概念没有精准、深刻的理解，你的学习方式就与AI没有区别，而且接收信息的速度还比不过AI。我们一边说机器代替了很多人的工作，一边不计成本地培养机器可以代替的人才。“
谢谢你的阅读！###############
视频1：基础教育精品课21——平行四边形的认识（四年级数学）王未地址：/BV1oi4y1R74Z截图时间：08：30
视频2：四年级数学上册 认识平行四边形/BV1WLyGY4EtF截图时间：22：20
警惕将学生培养为“低配版AI”https://mp.weixin.qq.com/s/GMY0d-C-yx-VMOzsp2Hqww
标题是不是写反了 本帖最后由 wszweill 于 2024-12-6 10:47 编辑
这种东西不就是几十年前反对填鸭教育的翻版嘛
我觉得就是不接地气。填鸭的好处就是标准化，从中国数到欧美，教育行业能有多少有自己科学套路的教育学专家。人性化教育之间参考美帝K12
中小学生如果能成为“低配AI”那可太恐怖了。咱就说，姜圣要是有低配AI水平，能翻车嘛 讲真，就中学学生学生水平和教师水平来说，死记硬背能想明白就不错了。尖子生考学科竞赛的，或者高考清北985的，也没谁是纯死记硬背呀
至于高考内卷，那和填鸭教育也没啥关系，那是标准化考试的问题。你再有创造性，放试卷怎么办。不过我是支持把语文阅读理解这种填鸭都没意义的抽象玩意给 换了，换成这两天ttk的语文逻辑推断都强得多 教育是防止未成年人过早进入就业市场by汉弗莱 没看懂你想说什么，四边形那个例子用简单集合论就能说明白了，画什么树状图 tsubasa9 发表于 2024-12-7 00:02
没看懂你想说什么，四边形那个例子用简单集合论就能说明白了，画什么树状图 ...
但是语言描述抽象问题时很容易落入这样的陷阱，确实是个很好的提醒 从Venn图入手应该更自然吧，把第一张图里的图形剪下来，长得像的的堆在一起就可以了
抽象层级是被定义的，搞抽象模型是为了处理具体问题，四边形答案只能说不完备而不是错误，更没有涉及到非欧几何。
任何抽象模型到后面都有无法避免的系统复杂度，还是看具体要求，复杂度太高甚至难以维持对整体的认知，而是对这套抽象认知系统的维持——学习如何阅读说明书/操作手册/管理条例/规范，并总结为经验。
最后一段，神经网络就是模拟人对于具体对象的初级认知过程，也是学习必然经历的过程，越过这个阶段需要其他针对性训练了。 范畴在数学里有很明确的指向和定义，请不要挪用。平行四边形之间没有自然的morphism，感觉并不能构成范畴。 诚司 发表于 2024-12-7 02:02
Feynman曾经说过一段话，“社会科学遵循科学的形态，收集数据，然后这样那样的去得出结论，但没有任何定理 ...
我不太懂高数，我的理解，你想说的是1简单的知识不需要复杂的认知模型，2如果无法生产该领域新的知识，精巧的认知模型也是无用的。
我写这篇笔记是因为它给出的思维方式是有效的，它给出了这方面的新知识。当然毫无疑问，相比数学，认知科学确实不太科学是吧。 简单问题复杂化。如果教小孩的话，只需要每种情况举出例子就可以了
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